[Linear Algebra] 피벗 성분 및 행 사다리꼴(Pivot entries and row-enchelon forms)

선형대수학 - 피벗 성분 및 행 사다리꼴

 

선형 대수학의 아버지 윌리엄 로월 해밀턴

 

인공지능 시대가 떠올랐습니다. 선형대수학은 데이터의 표현과 변환에 핵심적인 역할을 하여 AI 모델의 학습 및 예측 과정에서 효율적인 계산을 가능하게 합니다. 또한, 차원 축소와 같은 기법으로 고차원 데이터를 효과적으로 처리하고 시각화하므로 AI 개발을 위해 선형대수학 공부가 필수적입니다.

 

위와 같은 이유로 선형대수학을 공부하면서 정리한 내용을 담은 포스트입니다.

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피벗(Pivot)이란?

피벗이란 하나의 행(Row)에서 0이 아닌 가장 먼저 오는 성분을 의미합니다. 다른 말로 선행성분(leading entry)이라고 합니다. 피벗을 가지고 있는 열(Column)은 피벗 열(Pivot Column)이라고 합니다.

행렬의 예시

 

위와 같은 행렬이 존재한다면, 각 행에서 4와 2 그리고 -3이 피벗이 됩니다. 그리고 좌측의 세 열은 모두 피벗 열이 됩니다.

 

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행 사다리꼴 행렬(Row-enchelon forms)

1. 모든 피벗은 1입니다.
2. 0만을 가지고 있는 행은 행렬의 가장 아래에 위치해야 합니다.
3. 피벗은 계단식으로 존재해야합니다. 왼쪽 위 코너에서 오른쪽 아래 코너로 순차적으로 놓여집니다.

 

행 사다리꼴 행렬은 위와 같은 조건을 가집니다. 지금부터 각 조건을 차례대로 알아보겠습니다.

 

행 사다리꼴 행렬의 예시

 

위 행렬은 행 사다리꼴 행렬입니다. 모든 피벗(각 행의 선행성분)이 1로 표현되고 있습니다. 또한 0만을 가지고있는 행이 행렬의 가장 아래에 위치합니다. 또 각 행의 1의 위치를 눈여겨 보면 피벗이 계단식으로 존재함을 알 수 있습니다.

 

그렇다면 위와 같은 행렬들이 존재했을 때, 어떤 것이 행 사다리꼴 행렬(REF)인지 확인해보겠습니다.

 

행렬 A는 모든 피벗이 1입니다. 또한 0으로 이루어진 행이 행렬의 가장 아래에 위치합니다. 또한 피벗이 계단식으로 존재함을 확인할 수 있습니다. 따라서 행렬 A는 행 사다리꼴 행렬입니다.

 

행렬 B는 세 번째 행의 피벗이 3으로 나타납니다. 따라서 모든 피벗이 1이 아니므로 행 사다리꼴 행렬이 아닙니다.

 

행렬 C는 모든 피벗이 1로 나타납니다. 하지만 피벗이 계단식으로 존재하지 않습니다. 두 행이 같은 열에 피벗을 가지고 있기 때문에 행 사다리꼴 행렬이 아닙니다.

 

행렬 D는 모든 피벗이 1로 나타납니다 하지만 두 번째에 행이 0으로만 이루어져 있음에도 행렬의 가장 아래에 위치하지 않습니다. 따라서 행 사다리꼴 행렬이 아닙니다.

 

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기약 행 사다리꼴 행렬(Reduced Row-enchelon forms)

4. 피벗 열에서 유일하게 피벗이 0이 아닌 수입니다.

 

기존의 행 사다리꼴 행렬에서 위와 같은 조건이 추가되면 기약 행 사다리꼴 행렬이 됩니다.

기약 행 사다리꼴 행렬의 예시

 

위와 같이 피벗 열에서 유일하게 0이 아닌 수가 피벗인 경우 기약 행 사다리꼴 행렬이라고 표현합니다.

 

 

그럼 위 네 가지 행렬에서 기약 행 사다리꼴 행렬(RREF)을 찾아보겠습니다.

 

행렬 A는 3번째 열에서 -2와 1이 동시에 존재합니다. 따라서 기약 행 사다리꼴 행렬이 아닙니다.

 

행렬 B는 4번째 열에서 3과 1이 동시에 존재합니다. 따라서 기약 행 사다리꼴 행렬이 아닙니다.

 

행렬 C는 피벗 열에서 피벗을 제외한 수가 모두 0입니다. 따라서 행렬C는 기약 행 사다리꼴 행렬입니다.

 

행렬 D는 0으로 이루어진 열이 행렬의 가장 아래에 위치하지 않습니다. 따라서 기약 행 사다리꼴 행렬이 아닙니다.

 

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